2014年1月13日月曜日

正多面体について

radiconです☆
正多面体について説明していきます。

正多面体とは、全ての面が正多角形のみで作られた立体のこと。
プラトン立体とも呼ばれ、全部で5種類あります。

面が同一の正多角形で作られる立体はもう少しありそうな感じがありますが、なぜ5つだけなのでしょうか。

Wikipediaには、『すべての面が同一の正多角形で構成されてあり、かつすべての頂点において接する面の数が等しい凸多面体のこと』、とあります。

正多角形が正多面体をつくるには決まりがあります。



(1) 1つの頂点に集まる面の数は3つ以上

(2) 頂点に集まる角の和は360°より小さい


【検証】
・正三角形の場合

1つの内角は60°である。
よって、60°×6=360°となるため、(2)より正三角形は、3つ・4つ・5つのときに(1)を満たします。


・正四角形の場合

1つの内角は90°である。
よって、90°×4=360°となるため、(2)より正四角形は、3つのときに(1)を満たします。


・正五角形の場合

1つの内角は108°である。
よって、108°×4=432°となるため、(2)より正五角形は、3つのときに(1)を満たします。


・正六角形

1つの内角は120°である。
よって、120°×3=360°となり(1)と(2)の定義を満たさないため、正六角形以上では正多面体を作ることはできません。

よって正多面体ができるのは下記5通りとなります。
個数はひとつの頂点に集まる正多角形の数です。

正三角形 3つ → 正四面体
正三角形 4つ → 正八面体
正三角形 5つ → 正二十面体
正四面体 3つ → 正六面体
正五角形 3つ → 正十二面体

この5つのみが正多面体です。
そして、立体の基本図形として考えられるのが正四面体です。


この図形と球が組み合わさって現れる数字が、面白い現象を起こします。
詳細は記事、 ピラミッドと地球が作る奇妙な数字「19.5度」の謎にてまとめていますので、興味ありましたらご覧下さい。

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